数学期望常用公式
数学期望是概率论与数理统计中的一个基本概念，它反映了随机变量取值的平均趋势。在不同的应用场景中，理解并熟练运用数学期望的相关公式对于解决实际问题至关重要。以下是几个常用的数学期望公式及其应用示例。
1. 离散型随机变量的数学期望
如果随机变量\(X\)为离散型随机变量，其所有可能取值为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，对应的概率分别为\(p_1, p_2, \cdots, p_n\)，则\(X\)的数学期望（或均值）定义为：
\[E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i\]
应用示例：
假设掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为0.6，反面出现的概率为0.4。如果我们定义正面为1分，反面为-1分，则该游戏的数学期望为：
\[E(X) = 1 \times 0.6 + (-1) \times 0.4 = 0.2\]
这表明长期来看，每次游戏我们预期会获得0.2分。
2. 连续型随机变量的数学期望
如果随机变量\(X\)为连续型随机变量，其概率密度函数为\(f(x)\)，则\(X\)的数学期望定义为：
\[E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx\]
应用示例：
假设某产品的使用寿命\(T\)服从指数分布，其概率密度函数为\(f(t) = \lambda e^{-\lambda t}\)，其中\(\lambda > 0\)。则产品的平均寿命（即数学期望）为：
\[E(T) = \int_{0}^{\infty} t \lambda e^{-\lambda t} dt = \frac{1}{\lambda}\]
这意味着，如果\(\lambda = 0.1\)，则产品的平均寿命为10年。
3. 数学期望的线性性质
对于任意两个随机变量\(X\)和\(Y\)，以及常数\(a\)和\(b\)，有：
\[E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)\]
这个性质在计算复杂随机变量的数学期望时非常有用。
应用示例：
假设两个独立的随机变量\(X\)和\(Y\)分别表示两个不同投资项目的回报率，已知\(E(X) = 0.05\)，\(E(Y) = 0.07\)。若我们将资金等比例分配给这两个项目，则总投资的预期回报率为：
\[E(0.5X + 0.5Y) = 0.5E(X) + 0.5E(Y) = 0.5 \times 0.05 + 0.5 \times 0.07 = 0.06\]
这表明，平均而言，我们的总投资回报率为6%。
掌握这些基本公式及其应用，可以帮助我们在处理实际问题时更加得心应手。
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